Lise yıllarında müziğe olan ilgisi artan Çevik, "Düş-ün-ce" isimli bir müzik albümü çıkarmıştır. Sanat kariyerindeki dönüm noktalarından biri, 2004 yılında katıldığı ve geniş kitlelerce tanındığı "Akademi Türkiye" yarışması olmuştur. Daha sonra "Yabancı Damat" dizisinde canlandırdığı Niko karakteri ile büyük beğeni toplayarak oyunculuk kariyerinde önemli bir adım atmıştır.

Çevik, "Avrupa Yakası", "Kavak Yelleri", "Gece Sesleri", "Balkan Düğünü" gibi popüler dizilerde rol alarak oyunculuk yeteneğini çeşitli karakterlerle sergilemiştir. "Kırgın Çiçekler" dizisindeki Toprak karakteriyle hafızalara kazınan Çevik, son olarak "Can Kırıkları" dizisinde Kerem karakterine hayat vermiştir. ATV ekranlarında "Yaz Dizisi" olarak yayınlanacak "Canevim" dizisinde ise acımasız bir karakter olan Taylan Tanbay'ı canlandıracaktır.

Özgür Çevik, kişisel hayatında da "Mustang" filmi ile tanınan oyuncu İlayda Akdoğan ile bir ilişki yaşamaktadır. Çevik, oyunculuk ve müzik alanındaki çalışmalarıyla tanınan çok yönlü bir sanatçıdır.